Existence of optimal controls for systems governed by mean-field stochastic differential equations

Abstract

In this paper, we study the existence of an optimal control for systems, governed by stochastic dierential equations of mean-eld type. For non linear systems, we prove the existence of an optimal relaxed control, by using tightness techniques and Skorokhod selection theorem. The optimal control is a measure valued process dened on another probability space. In the case where the coecients are linear maps and the cost functions are convex, we prove by using weak convergence techniques, the existence of an optimal strict control, adapted to the initial ltration.

Résumé. Dans cet article on s'intéresse à l'existence d'un contrôle optimal, pour des systémes gouvernés par des équations différentielles  stochastiques de type champ moyen. Pour les systémes non linéaires, on démontre un résultat d'existence d'un contrôle optimal relaxé, en utilisant des techniques de tension et le théorème de sélection de Skorokhod. Le contrôle optimal obtenu est un processus à valeurs mesures, défini sur un autre espace de probabilité. Dans le cas où les coefficients sont linéaires et les fonctions de coût sont convexes, on démontre en utilisant des   techniques de convergence faible, l'existence d'un contréle optimal strict, adapté à la filtration initiale.

Key words: Mean-field; Stochastic differential equation; Relaxed control; Existence; Tight-ness; Weak convergence.